எண்ணியல் - 5

குழிமாற்றுக் கணக்குகளில் (அதாவது, பரப்புக் காணும் கணக்குகளில்) சதுரம், செவ்வகம் ஆகியவற்றின் பக்கங்களைக் கொடுத்துப் பரப்புக் காணவும், பரப்பைக் கொடுத்து நீள, அகலங்களிடையே ஓர் உறவையும் கொடுத்து, பக்கங்களைக் காணச் சொல்வது பழங்கணிதத்தில் ஒரு பழக்கம் ஆகும். இப் புதிரிகளில் விதம் விதமாகக் கடுமையைக் கூட்டிப் போவார். ஒரு விறுவிறுப்பும் இருக்கும். சதுரம், செவ்வகம் போக, நாற்கோட்டம் (quadrilateral), நாற்பதியம் (trapezium) என வடிவங்கள் விரியும். இத்தனை வடிவங்களும் நிலவரிக் கணிப்பின் தொடர்பாற் கணிதத்துள் வந்தன. இவைபோக வட்ட நிலங்கள், அரைவட்ட, கால்வட்ட, வில்வட்ட நிலங்கள் என்று பல்வேறு நிலங்களும் உண்டு. பேரரசுச் சோழர் காலக் கல்வெட்டுக்களைப் படித்தால் நிலங்களின் வகைகண்டு வியப்போம். கணக்கில் திறனில்லையெனில் இவற்றை எப்படிச் சரிகாண்பது? அதோடு, ஆறில் ஒருபோக விளைச்சலை  இறைக் கொள்ளவேண்டுமே? எண்ணியலும், வடிவியலும், பொருத்தியலும் குறைந்த அளவாவது பேரரசுச் சோழர்காலத்தில் வளர்ந்திருக்க வேண்டும். [இவ்வறிவில்லாமல் ஒரு பேரரசின் பொருளியல் இருந்திருக்க முடியுமா?]

[எண்ணியலில் வரும் மற்ற எண்களைச் சொல்லுமுன், இவ்விடத்தில்  இடை விலகல் செய்யாது என்னால் முடியவில்லை. பொறுத்துக் கொள்ளுங்கள். செவ்வகம், சதுரம் போன்ற சொற்கள் எப்படியெழுந்தன தெரியுமோ?

செவ்வஃகம்>செவ்வகம்; அஃகம் = கூர், முனை. கூராதல் எனும் போது முனைகளில் எழும் கதிர்களின் கோணத்தையும் குறிக்கும். ”அஃகி அகன்ற அறிவென்னாம்” என்பது குறள் 175. கூர்ந்து அகன்ற விரிவு என்பது விரிந்த கோணத்தைக் குறிக்காது வேறெதைக் குறிக்கும்? கூர்ந்தகன்ற விரிவு இங்கு அறிவுக்கு இயல்பாய்ச் சுட்டப்பெறுகிறது. செவ்வையான அஃகம் = செவ்வையான கோணம். அதாவது 90 பாகையில் இருப்பது புலப்படுகிறது. செங்கோணமென்று பள்ளிப்பாடத்திற் சொல்வாரே? ஒவ்வொரு அஃகமும் செங்கோணத்தில் இருக்குமெனில், அந்த 4 கோணங்களும் 90 பாகையாகத் தான் இருக்கமுடியும். யுக்லீடின் வடிவியலில் இதற்கு வேறுவழியில்லை. ஆகச் செவ்வஃகம் என்று தமிழ்ப்பெயர் சூட்டியதே ஓர் அழகு தெரியுமோ? வட மொழியிலும் சமகோணம் என்று செவ்வஃகத்தை பெயரிடுவார்.

அதேபோலச் சதுரம் என்ற சொல் தோற்றத்தையும் அறிவது நல்லது. ”கரம், சிரம், புறம் நீட்டாதீர்” என்ற வாசகத்தைத் தமிழகத்தின் தெற்குப் பக்கப் பேருந்துகளில் எழுதியிருப்பார். கரம், கைக்கு இன்னொரு பெயர். கருமம் செய்வது கை. கருத்தல் / கருமுதல் என்பது கரத்திற்கான வினைச்சொல். கருப்பது கரம். கரத்தை வடமொழிச் சொல் என்றே பலரும் நினைக்கிறார். சாதிக்கவும் செய்கிறார். இதன் தமிழ்மையை எழுதப் புகுந்தால் பக்கங்கள் நீளும். கரத்தில் விளையும் செயல் காரம் அது வடமொழியில் கார்யமென்று திரியும். மீண்டும் தமிழுக்குக் காரியமென வந்துசேரும். (நாமும் பயன் படுத்துகிறோம். காரியத்தின் பின்னிருப்பது காரணம். அதை நற்றமிழிற் கரணியம் என்பார்.) காரம்/கருமம் செய்பவன் காரன்.[காரம் என்பது நம் ஊரில் சில இடங்கள் தவிர்த்துப் பிறவற்றில் வழக்கற்றுப் போனது] ”காரன்” என முடியும் சொற்கள் தமிழிற் கணக்கில. வேலைக்காரன் போன்ற சொற்கள் எண்ணற்றவை. ”காரன்” என முடிவதெலாம் வடசொற்கள் அல்ல.

நாலு கை உள்ளது சதுகரம். இதைப் பலுக்கையில், உள்வரும் ககரம் சற்றே மெலிந்து ஒலிக்கும். அதுதான் சரியான தமிழ்முறைப் பலுக்கல். முடிவில் ககரம் ஒலிபடாமலே போய், சதுகரம் சதுரமானது. முன்வரும் சதுவிற்கு என்ன பொருள் ? - என்பது அடுத்த கேள்வி.

ஒன்று, இரண்டு, மூன்று....... என்று பல்வேறு எண்ணுச் சொற்கள் பிறந்த கதையை இங்கு சொன்னால் வேறுபக்கம் இழுத்துப் போகும். (வேறொரு நாள் எழுதுவேன். இப்போது விடுக்கிறேன்.) அடுத்த எண்ணாகக் கை எனும் சொல் பிறந்தது. இவற்றிற்கு இடையிலுள்ள எண்ணைக் குறிக்கும்வகையில், கைக்கு முன்னொட்டுச் சேர்த்து நலிந்த கை, நால்கை> நால்ங்கை யாயிற்று. அதாவது குறைந்த கை என்றபொருள் கொண்டது. நால்கை>நாலுகை என்றும் பலுக்கப் படும். நான்கு என்பது நால்ங்கின் மீத்திருத்தம். நால் எனும் குறுவடிவும் வழக்கிலுண்டு. ”கை” எனும் கருவி உள்ளார்ந்து புரியப்பட்டதால் ”நாலு” எனும் சொல்லே நாளடைவில் 4 ஐக் குறித்தது. மொத்தத்தில் நலிந்தது நாலாயிற்று. உரோமன் குறியீட்டில் கைக்கு முன் ஒன்றிட்டு மதிப்புக் குறைவதைக் (=கழிப்பதைக்) காட்டுவார். (IV)

இனி நலிதலைக் குறிக்கும் இன்னொரு வினைச்சொல் காண்போம். நலிதற் பொருளின் இன்னொரு வெளிப்பாடான ”சொள்ளல்” decay ஐக் குறிக்கும்; சொள்ளை,  உள்ளீடற்றதைக் குறிக்கும்; சொள்ம்பியது>சூம்பியதாகும்; சூம்பிய விரல் = குறைப்பட்ட விரல்; வளர்ச்சியடையா விரல். ”சொளு சொளு” என்று கிடக்கிறது= குறைப்பட்டுக் கிடக்கிறது. [சோறு தன் திண்மை இழந்து குழைந்து போனதையும், கூழ்போல் ஆனதையும் குறிக்கும்]. சொளையம் ஆதல் = திருடு போதல் = குறைப்பட்டுப் போதல். சொள்ந்தது சொட்டு> சொட்டை யாகும் ; பின் சொத்தையும் ஆகும்;

சொட்டுதல் = குறைத்தல், கொத்துதல்; சொட்டு = இகழ்ச்சி, குற்றம்; சொட்டை = குழிவு. ( dent) பள்ளம் (cavity) , வழுக்கை. சொட்டை சொள்ளை = குற்றங்குறை (நெல்லை வழக்கு). சொட்டைத் தலை = வழுக்கை விழுந்த தலை; சொண்டு = குழிவு (dent); சொண்டு = சொத்தை மிளகாய்; சொத்தலி = கொட்டையில்லாத பனங்காய்; சொத்தி = உறுப்புக்குறை, நொண்டி; சொத்தை = சீர்கேடு. சொத்தைப் பல் = கெட்டுப்போன பல்; சொத்தைக் காய். சொள்நங்கி, சோள்நங்கியாவான்; மேலும் புணர்ந்து சோணங்கியாவான். செயப்பாட்டு வினையில் சொள்தல், சொது படும் = குறைபடும் என்றாகும். சொது சொது என்று கிடப்பதும் நலிந்து கிடப்பதே. சொதுக்குவது பேச்சுத்திரிவில் சதுக்கும். சொதுக்கை சதுக்கையாகும். சதுக்கம், நாற்பக்க இடத்தைக் குறிக்கும். [square]. சதுத்தலும் குறைப் பொருள் உணர்த்தும். சதுக்கை, நாலுகைக்கும், சது, நாலுக்கும் இணையாகும். எப்படி முக்கி முணகினும் (சதுக் கை = நலிந்த கை = குறைந்த கை என்னும்) பொருள் வடமொழியில் வாராது. ஆனாலும் ”சதுரம்” வடமொழி என்றே சாதிப்பவர் பலர். முன்சொன்னது போல், சதுகரம்> சதுரம் = நாலுகரம்.

பொதுவாய்ச் செவ்வஃகம், நாலு சம கோணங்கள் கொண்டது. சதுகரம், நாலு சம பக்கங்கள் கொண்டது. ”சம சதுர் புஜம், சம சதுர் அஸ்ரம்” என்ற வடசொற்கள் சதுரத்தைக் குறிப்பதாய் இதே கருத்தையொட்டி அமையும்.

இதுபோல் குறைப்படும் வினை ஒன்பதிலும் உண்டு. தொள்ளுவது = துளை பட்டது அங்கு குறைதலைக் குறிக்கும். பத்தில் தொள்ந்தது (துளைபட்டது) தொண்டாயிற்று. தொள்ந்தது = குறைந்தது; தொள்பட்டது  செயப்பாட்டு வினை. தொண்டு செய்வினை. (தொண்டன் = குறைபட்டவன் ஏழை, எனவே ஊழியம் செய்பவன். தொண்டு = குறைபட்டுச் செய்யும் வேலை. ) தொள் பட்டதும் தொள்ந்ததும் ஒரேபொருள் குறிக்கும். அதேபோல் தொள்பதும் (தொண்பதும்) தொண்டும் ஒரே பொருள். தொள்ளுவதிற் தகரம் தொலையின் அது ஒள்படும். ஒள்>ஒண்பத்தாகும். இன்னும் மெலிந்து ஒன்பத்தாகவும் ஆகும். அதன்பொருளும் குறைந்த பத்தே. ஒன்பதும் தொண்டும் ஒரேபொருள் கொண்டன. (ஒரு சொல் செயப்பாட்டு வினையிற் பிறந்தது ; இன்னொரு சொல் செய்வினையிற் பிறந்தது). அதை விளக்கினால் நீளும்.]

இனி இடைவிலகலிலிருந்து எண்ணியலுக்கு வருவோம். பழங்கணிதத்தில் பக்கங்களைப் பெருக்கி,சதுகரம், செவ்வஃகம் போன்ற பரப்புக் கிட்டுவதைச் சரியாகப் பதிவு செய்திருப்பார். ஆனால் வட்ட நிலங்கள், வில் நிலங்கள் இருந்தால் அதன் பரப்புக் காணுவதில் தடுமாறியிருப்பார்.

ஒருமுளையை நட்டு அதில் கயிறு கட்டி கயிற்றின் இன்னொரு முனையில் வேறுமுளை கட்டி, இரண்டாம் முளையால் சுற்றிவரக் கீறிப்பெறுவது வட்ட நிலமாகும். கயிற்றின் நீளத்திற்குத் தக்க வட்டம் பெரிதோ, சிறிதோ ஆகும். கயிற்றின் நீளத்தை ஆரமென்பார். 2  மடங்கு ஆரத்தை விட்டமென்பார். விட்டத்திலிருந்து வட்டப்பரப்பைக் காண பக்கமடையான (approximate) விடைகளையே அக்காலம் தெரிந்து வைத்திருந்தார். விட்டத்தில் இருந்து  கணக்கிடாமல் ஆரத்தோடு அரைச் சுற்றளவைப் பெருக்கி வட்டப்பரப்பு துல்லியமாகக் கிட்டியதையும் அறிந்திருந்தார். காட்டாக,

விட்டத் தரைகொண்டு வட்டத் தரைமாறச்
சட்டெனத் தோன்றும் குழி

என்ற குறள்வெண்பா மூலம் ”கணக்கதிகாரத்தில்” இவ்வுண்மை அறிவோம். அதாவது r*(s/2) = a இங்கே r  ஆரத்தையும் s சுற்றளவையும், a  பரப்பையும் குறிக்கும். சுற்றளவு, ஆரநீளத்தைப் பொறுத்ததெனக் கட்டுமானம் மூலம் அறிவதால் s = C*r என்ற சமன்பாடு கிடைக்கும். [C = நிலைப்பெண் (constant)]. இதிலிருந்து, C*r^2/2 = a என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். C/2 வை இன்னொரு நிலைப்பெண் K என எழுதினால் a/r^2 = s/(2*r) = K என்றாகிறது. இச்சமன்பாடு சொல்லும் கருத்தென்ன?

”எப்பேற்பட்ட வட்டமாயினும் அதன் பரப்பை, ஆரத்தின் சதுகரத்தால் வகுத்தால் குறிப்பிட்ட எண் மீள மீளக் கிட்டும்.”

இம்முடிவு அக்கால கணிதருக்கு மிகுவியப்பைத் தந்திருக்கும். பல்வேறு பெரு வட்டங்களை வரைந்து, இக் K இன் மதிப்பைக் கண்டு பிடித்துள்ளார். 3, 22/7. sq.r (10), 333/106, 355/113, 62832/20000, 67783/21576, 68138/21689, 408473/130021, என மேலும் மேலும் துல்லிய மதிப்பை அடைந்துள்ளாரே ஒழிய, இன்னதே மதிப்பு என்று பொட்டில் அடித்தாற்போல் சொல்ல முடிவதில்லை. இந்த எண்ணிற்கு கிரேக்க எழுத்தான “பை” குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவார். பை எண்ணைச் சாமணமாகக் (சாமாண்யம்) கருத முடியாது. இந்த எண்ணின்றி எந்த வட்டத்தின் பரப்பு, சுற்றளவை விட்டத்தில் இருந்து காண முடியாது

”உலகின் மீநனி மருட்டெண்ணின் தன்வரலாறு (A biography of the World's Most Mysterious Number)' என்ற நூலில் (Universities Press, 2006) Alfred S Posamentier, Ingmar Lehmann ஆகியோர் நூறாயிரம் பதின்மத் தானங்கள் (100 thousand decimal places) அளவுக்குத் துல்லியம் காட்டி பையின் மதிப்பைப் பதிவு செய்திருப்பார். அதற்கும் துல்லியமாக 1.24 ஆயிரம் ஆயிரம் நுல்லியம் (trillion = thousand thousand million) அளவிற்குக்கூடக் கணி மூலம் இற்றை அறிவியல் மதிப்பிட்டிருக்கிறது.

இங்கே காட்டிய ஓர் எண் மட்டுமல்ல. இதுபோல் கணக்கற்ற எண்கள் உள்ளன . இன்னொரு காட்டை e என்பார். அதன் மதிப்பு 2.71828182845904523536........ என்று முடிவிலாது போகும். இன்னும் ஒரு எண் (ஆய்லரின் நிலைப்பெண்-Euler's Constant) கிரேக்கக் “காமா” வைக் குறியீடாக்கி, 0.577215664901532860606512..... என்று போகும். முக்கோண அளவியலில் (trigonometry) ஒவ்வொரு பாகைக்கும் உள்ள முக்கோண அளவு வங்கங்களின் (trigonometric functions) மதிப்பைப் பார்த்தால் அதிலும் கூட முடிவற்ற தானம் (unlimited places) கொண்ட எண்கள் வரலாம். காட்டு sine 30 = 0.5 என்பது இயலெண். sine (29.5) என்பது முடிவற்ற தானங் கொண்ட எண்; இது 0.4924........என்று போய்க்கொண்டேயிருக்கும். இது போல கணக்கற்ற எண்கள் முடிவற்று இருப்பது கண்டுபிடிக்கப் பட்டுள்ளன.

இந்த முடிவற்ற எண்களுக்கு ஒரு பெருஞ்சிறப்பு உண்டு. இவை எந்தவொரு பலனச் சமன்பாட்டிலும் (polynomial equations) சுளுவாக (solution) அமைய முடியாது. அதாவது இதுபோன்ற எண்கள் பலனச் சமன்பாடுகளை மீறியவை, துரனேறியவை (transcend) அதனால் அவை துரனேற்றெண்கள் எனப்படும். transcendental number e, pi ; mid-14c., from L. transcendere "climb over or beyond, surmount," from trans- "beyond" + scandere "to climb" இரண்டு பொருத்தெண்களுக்கு நடுவில் எத்தனையோ துரனேற்று எண்கள் உள்ளன. பொருத்தெண்களும், துரனேற்றெண்களும் பலக்கிய எண்களுக்குள் அடங்கியுள்ளன.

பலக்குமையின் உச்சத்தைத் தொட்டுவிட்ட நாம், அடுத்த பகுதியில் சற்று எளிதான எண்களையும், பின்னங்களையும் பார்ப்போம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

எண்ணியல் - 4

அடுத்த வகை எண்களைப் பார்க்குமுன் பொருத்தியற் (algebra) கணிதம் பற்றிச் சொல்லவேண்டும். தொடக்க காலத்தில் கணிதம் என்றால், எண்ணியல் (Arithmetics), வடிவியல் (Geometry) என்று மட்டுமே பலரும் புரிந்து வைத்திருந்தார். ஆனால் நாகரிகம் உயர்ந்த மக்களிடம், அன்றாடக் கணக்காய்ச் சில புதிரிகள் (problems) கொஞ்சங் கொஞ்சமாய் புழங்கத் தொடங்கி, வேறொரு கணிதத்தை உணர்த்தின. ”ஏதோவோர் அறியா எண்ணைக் (unknown number) கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் போன்ற பல்வேறு செய்முறைகளுக்கு உட்படுத்தி, அதன் விளைவாய்க் கிடைத்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டை (expression) இன்னொரு எண்ணுக்குச் சமப்படுத்தி, முன்னாற் குறியிட்ட அந்த அறியா எண் யாது?” என்று கேட்கும் புதிரிகள் உலகில் ஏராளம் உண்டு. இதுபோல் புதிரிகளைச் சொல்லும் போது, இக்கால முறையில் அறியா எண்ணை x என எடுத்துக் கொண்டு வெளிப்படையான சமன்பாடாக மாற்றிப் பின் அதைச் சுளுவியெடுக்கப் (to solve) போய் விடுவோம். அக்காலத்தில் இப்படிச் செய்தவர் மிக அரிது. அக்காலக் கணக்குகள் எல்லாமே ”சொற்கள், வாக்கியங்கள்........மீண்டும் சொற்கள், வாக்கியங்கள்.........” என்று சலிக்காது அமைந்திருந்தன. எங்குமே பொளிகளை (symbols) வைத்துக் சுருக்கென்று கணக்குச் செய்வது கிடையாது. [ஒரேயொரு புறனடை: எகிப்திலிருந்த கிரேக்கரான தைவாண்டசு (Diphantus). இவர் ஒருவரே பொளிகளை வைத்து மாற்றியெழுதிக் கணக்குப் போட முயன்றவர். இதனாலேயே அவரைப் பொருத்தியற் தந்தை என்பாருண்டு.]

பொருத்தியற் கணக்கிற்குக் காட்டாக, பாபிலோனிய அரசன் அமுராபி காலத்தில் (ஏறத்தாழ கி.மு.1790) சுடுமண் தட்டங்களில் ஆப்பெழுத்துக்களில் எழுதிய கணக்கு நினைவிற்கு வருகிறது. “[The igib]um exceeded the igum by 7. What are [the igum and] and the igibum?" இங்கே igibum என்பது அக்கேடியன் மொழியில் எண்ணையும். igum என்பது அதன் எதிரெண்ணையும் குறிக்கும் சொற்கள் ஆகும். எதிரெண் என்பது இக்கால முறையில் 1/x என்பதுபோல் அமையாது. அது 1/x, 60/x, 3600/x என்று பல்வேறு எண்களைக் குறிக்கலாம். இடம், பொருள், ஏவல் பார்த்து புரிந்து கொள்வர். [மறந்து விடாதீர், அக்காலச் சுமேரிய, பாபிலோனிய நாகரிகங்கள் அறுபான் மான அடிப்படை எண்களைக் கொண்டவை. அதன் மிச்ச சொச்சத்தை இன்றும் காலத்தை அளக்கும்போது நாம் பயில்கிறோம். 60 நொடி (seconds) = 1 நுணுத்தம் (minute); 60 நுணுத்தம் = 1 மணி (hour) . 360 நாள் = ஒரு ஆண்டு (பின்னால் இது துல்லியமாகி 365.25 நாளுக்கு வந்தது வேறுகதை.) சுமேரியர்களை மறந்து இக்கால அறிவியலை நாம் பேசமுடியாது.]

இவ்விடத்தில் அவர்சொல்லிய செய்முறையைப் பார்க்கும் போது எதிரெண் என்பது 60/x ஐக் குறித்திருக்கலாம் என்று தோன்றுகிறது. சரி, கணக்கிற்கு வருவோம். அக்காலமுறையில் எப்படிச் சொற்கள், வாக்கியங்கள் மூலம் இதைச் சுளுவினார் என்றுசொன்னால், அது நமக்கு விளங்காமலேயே போகலாம். எனவே இக்கால முறையில் எழுதிக் காட்டுகிறேன்.

x-60/x = 7

மேலேயுள்ள சமன்பாட்டின் எங்கணும் x - ஆல் பெருக்கிப் பின் எல்லாத் தீர்மங்களையும் (terms) ஒரே பக்கம் கொண்டுவந்தால், x^2 -7x -60 = 0 என்றமையும். இது ஒரு குழியேற்றச் (quadratic) சமன்பாடு. இதன் தீர்வு காண்பதற்கான வாய்ப்பாட்டை நம் உயர்நிலைப் பள்ளியில் சொல்லிக் கொடுத்திருப்பார். அதை மேலும் விளக்காமல் அப்படியே வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கொள்கிறேன்.

x = [7 +- (7^2 +4*60)^(1/2)]/2 = [7+- (49+240)^(1/2)]/2 = [7+-17]/2 = (12) or (-5)

ஆக., அந்த அறியா எண் என்பது 12 ஆகவோ, -5 ஆகவோ இருக்கலாம். அந்தக் காலத்தில் ”நொகையெண்கள்” என்ற கருத்தீடு சுற்றரவாகக் கிடையாது. எனவே பாபிலோனியருக்கு விடை 12 மட்டும் தான். இதை அடையும் முறை அச்சுடுமண் தட்டத்தில் (இற்றைக்கு 3800 ஆண்டுகளுக்கு முன்) பல்வேறு வரிகளின் மூலம் படிப்படியாகச் சொல்லப் பட்டுள்ளது. ஆக நாம் அறிந்த வரை, மாந்தனின் முதற் பொருத்தியற் புதிரி (first algebraic problem) 3800 ஆண்டுகளுக்கும் முந்தியது.

”எந்த அறியா எண்கள் கொடுத்த கணக்கில் பொருந்தும்? அல்லது இயலும்?” என்ற கேள்வியை வைத்தே இயல்கணிதம் என்ற சொல்லை algebra - விற்கு இணையாகச் சிலர் பரிந்துரைத்தார். ஆனால் அப்படித் தொடர நான் விரும்ப வில்லை, ஏனெனில், இயலெண்கள் என natural numbers யை விளிப்பதனாலும், இயற்கை, இயல்பு என்று தொடர்புச் சொற்கள் வேறு கருத்தை நமக்கு உணர்த்துவதாலும், இயலுதலைக் காட்டிலும் “பொருத்தல்” வினையைப் பயன்படுத்தி பொருத்தியல் என நான் சொல்கிறேன். ஒவ்வொரு பொருத்தும் ஒரு match என்பதை உணர்த்துவதால், ”பொருத்தியல்” பொருந்தும் என்றே எண்ணுகிறேன்.

பொருத்தியலின் தாக்கம் பலநாடுகளில் இருந்தது. இந்தியா, சீனம், பெர்சியா போன்ற நாடுகளின் தாக்கம் இடைக்காலத்தில் அரபு அறிவியல் நடை முறையில் பெரிதும் இருந்தது. Algebra என்ற சொல்லும் இடைக்காலத்தில் அரபி மொழியில் தான் முதலில் எழுந்தது. பாக்தாதில் இருந்த புகழ்பெற்ற ஏழாவது கலீவா (Seventh Abbasid Caliph) அல் மமூன் அல்ரசீத் (al -Mamoun al-Rashid) காலத்தில் வாழ்ந்த அல் குவாரிசுமி (al-Khwarizmi) எழுதிய al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabbala (A Handbook of calculation by completion and Reduction) என்ற பொத்தகத்தில் தான் முதன்முதலில் பொருத்தியல் பேசப்பட்டது. ”நிறைத்து வெளித்தல்” என்று அரபியிற் சொல்லும் கூட்டுவினையையே பொருத்தல் என்ற தனிவினை மூலம் சொல்ல முயலுகிறேன்.

இதுபோல் கணக்குகள் பாபிலோனியரிடம் மட்டுமில்லை, அவருக்கு மேற்கில் இருந்த எகுப்தியரிடமும் இருந்தன. கிழக்கிலிருந்த சிந்து சமவெளியிலும் இருந்திருக்கலாம். [இன்னும் சிந்துக் குறியீடுகளை சரியே படிக்கமுடியாது உள்ளோம்.] தமிழராகிய நம்மிடமும் இதுபோல் புதிரிகள் இருந்துள்ளன. ”ஒரு குளத்தில் இருந்த தாமரை மலர்களில் ஒரு மலருக்கு ஒரு புறா உட்கார்ந்தால் 5 புறாக்களுக்கு இடமில்லை. ஒரு பூவில் இரண்டிரண்டு புறாக்களாய் அமர்ந்தால் 5 பூக்கள் மிஞ்சும் . மொத்தம் எத்தனை புறாக்களும் பூக்களும் குளத்தில் இருந்தன? “ என்ற கணக்கை  இளமைப் பருவத்திற் கேட்டுள்ளேன். அதுபோற் கணக்குகளை நம்மூர்க் காரிநாயனாரின் “கணக்கதிகாரம்” சொல்லும். கூட்டுத் தொகைக் கணக்குகள், பின்னப் பங்குக் கணக்குகள், பங்கிடுதற் கணக்குகள், சரிக்குச் சரி கணக்குகள், பூக்கள் கணக்குகள், சந்தைக் கணக்குகள், பிரித்துக் கொடுத்தற் கணக்குகள், சக்கரக் கணக்குகள், கூட்டுவிலை காணற் கணக்குகள், தனித்த கணக்குகள், தொகைக் கணக்குகள், கணக்குப் பாடல்கள் என்று பன்னிருவகைக் கணக்குகளை ”கணக்கதிகாரம்” பாடல் வடிவிற் சொல்லும். மாதிரிக்கு ஒரு நீளக் கணக்கை மட்டும் இங்கு சொல்லுகிறேன்.

தென்னவன் அனைய கோமான் தேவிமார் மூன்று பெண்கள்
பொன்னகர் காவில் ஏகிப் பூவது பறிக்கச் சென்றார்
அன்னவர் தனித்த னிய்யாய் அதிகமும் மூன்று பூவாய்த்
தன்னிலே பறித்து மீண்டும் சரிவரப் பங்கு வைத்தார்

வைத்ததோர் ஒருத்தி பங்கில் மாதேவர் தமக்குப் பாதி
சிற்றிடை வள்ளி பங்கர் செந்திலார்க்கு ஐந்தில் ஒன்று
நற்றமிழ்க் கணப திக்கு நாலிலே யொன்று போக
மற்றதோர் பூவுங் கொண்டு மனையது தன்னில் வந்தாள்

வந்தபின் தந்தை யர்க்கு வாகுடன் பாதி யீந்தாள்
சுந்தர வடிவின் நல்லாள் தோழியர்க்கு ஐந்தில் ஒன்று
விந்தைசேர் கணவ னுக்கு விரும்பியே பத்தில் ஒன்று
தந்திர மாக ஈய்ந்து தான்சில பூவை வைத்தாள்

வைத்ததோர் பூவு தன்னில் வளம்பெற நாலைம் பூவை
உத்தம தானம் ஈய்ந்தாள் ஒளிபெற ஒன்பது பூவைப்
பெற்றதோர் பிள்ளைக்கு ஈந்தாள் பேதையும் ஒருபூ வைத்தாள்
முத்தமிழ்க் கணக்கர் எல்லாம் மோசமில் லாமற் செய்வீர்

இந்த நாலு பாடலின் வழி மூன்று வேறிகளால் [variables] ஆன சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகள் [Simultaneous Linear Equations] சொல்லப் படுகின்றன. முத்தமிழ்க் கணக்கராகிய நாம் மோசமில்லாது செய்வோமா?

மூன்று தேவிகளும் பறித்த பூக்கள் x,y,z என்று பொருத்திக் கொள்வோம்.

முதல் பாட்டின் மூன்றாம் வரி மூலம் y = x+3, z = y+3 என்று இரு சமன்பாடுகளை அறிகிறோம்.

அடுத்து முதற்பாட்டின் நாலாம் வரிமூலம் ஒரு தேவிக்குக் கிடைத்த பூக்கள் = (x+y+z)/3 என்று அறிகிறோம்.

இரண்டாம் பாட்டின் முதல் வரி மூலம், மாதேவருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/2 என அறிகிறோம்.
இரண்டாம் பாட்டின் இரண்டாம் வரி மூலம் முருகருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/5 என அறிகிறோம்.
இரண்டாம் பாட்டின் மூன்றாம் வரியின் மூலம் பிள்ளையாருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/4 என அறிகிறோம்.
எனவே கோயிலிற் கொடுத்தது போக,
ஒரு தேவி வீட்டிற்குக் கொண்டுவந்தது = (x+y+z)/3 - [(x+y+z)/3]/2 - [(x+y+z)/3]/5 -[(x+y+z)/3]/4 = (x+y+z)/3[1-1/2- 1/5 - 1/4] = [(x+y+z)/3]*(1/20)
= (x+y+z)/60
இனி வீட்டில்,
தந்தைக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/2
தோழிக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/5
கணவனுக்குக் கொடுதது = {(x+y+z)/60]/10
அவளிடம் மிஞ்சியது = [(x+y+z)/60]*[1-1/2-1/5-1/10] = (x+y+z)/60]*(1/5) = (x+y+z)/300

அடுத்துத்
தானம் கொடுத்தது = 4*5 = 20
பிள்ளைக்குக் கொடுத்தது = 9
தன்னிடம் கடைசியாய் இருந்தது = 1
ஆக அவளிடம் எஞ்சியது = 20+9+1 = 30

மேலே உள்ளதை மீண்டும் ஓர்ந்து பார்த்தால் (x+y+z)/300 என்பது 30 ற்குச் சமமாக அமைந்து மூன்றாவது சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும்.
எனவே (x+y+z) = 300*30 = 9000 பூக்கள் ஆகும்.
இது போக, இன்னும் 2 சமன்பாடுகள் நமக்கு ஏற்கனவே தெரியும் அவை y = x+3, z= y+3

மேலேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் ஒருங்குசேரச் சுளுவியெடுத்தால், (y-3)+y+(y+3) = 9000; y = 3000; x = 2997; z = 3003 என்ற விடைகள் கிடைக்கும்.

இதுபோல நூற்றுக்கணக்கான புதிரிகள் கணக்கதிகாரத்தில் உள்ளன. வடபுலத்திலும் உண்டு. மற்ற நாகரிகங்களிலும் எழுந்தன. இக்கணக்குத் தொகுதிகளில் 4, 5 வேறிகளைக் கொண்டு சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகள் இருப்பது ஒருவிதக் கணக்காகும். இன்னொரு வகை முன்சொன்ன பாபி லோனியக் கணக்குப் போல் உயர்பாகை இழுனாச் சமன்பாடுகளாய் (Higher degree non-linear equations) அமைவது வேறுவிதக் கணக்காகும். இனி அல்-குவாரிசுமி காட்டிய கணக்கிற்கு வருவோம்.

“ஒரு மூலச் சதுரமும் பத்து மடங்கு மூலமும் சேர்ந்து 39 திர்காமுக்கு விலைபெறும் என்றால் மூலத்தின் அலகு என்ன?”

நாம் அறியா எண் (the unknown number) என்பதை மூலம் (root) என்றே அந்தக் காலத்தில் பயின்றிருக்கிறார். இப்போது வருக்கமூலம் என்பது வேறு பொருள் தருவதால், மூலம் என்ற பயில்வு கணிதத்தில் இந்த அலகைக் குறிப்பதில்லை.

(square of the unknown plus ten times the unknown equals 39)
i.e. x^2+10*x = 39;
x^2+10x-39 = 0

இதை அல்குவாரிசுமியின் பொத்தகத்தில் எப்படிச் சுளுவியெடுக்கிறார் என்று சொல்லாது நேரடியாக குழியேற்ற வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விடையை நாம் எழுதிவிடலாம்

x = [-10 +- (10^2 +4*39)^(1/2)]/2 = [-10+- (100+156)^(1/2)]/2 = [-10+-16]/2 = (3) or (-13)

பாபிலோனியக் கணக்கிலும், அல்குவாரிசுமிக் கணக்கிலும் வரும் சமன்பாடுகளை இக்காலக் கணிதத்தில் தொகுவெண் கெழுக்கள் (integer coefficients) கொண்ட பலனச் சமன்பாடுகள் (polynomial equation) என்பார்.

குழியேற்றச் சமன்பாடுகள் (quadratic equations),
கனவச் சமன்பாடுகள் (cubic equation),
நாலவச் சமன்பாடுகள் (quartic equation),
கைவகச் சமன்பாடுகள் (quintic equation)

என்று பல்வேறு சமன்பாடுகள் எழமுடியும். இச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு ஓர் உள்ளக எண்ணாகவோ (real number), பலக்கிய எண்ணாகவோ (complex number) அமையும். இத்தகைய தீர்வெண்களைப் பொருத்தெண்கள் (algebraic numbers) என்று எண்ணியலிற் சொல்வார்.

பொருத்தெண் = algebraic number = a number, real or complex, that is the root of a polynomial equation with integer coefficients.

மேலுள்ளதைப் படித்தால் எல்லாவிதமான உள்ளக எண்களும், பலக்கிய எண்களும் பொருத்தெண்கள் தானே? பொருத்தெண்கள் அல்லாது வேறு வகை எண்கள் உண்டா? - என்ற கேள்வி எழலாம். அடுத்த பகுதியில் பொருத்தெண்ணுக்கு மாற்றாக இன்னொரு வகை எண்ணைப் பார்ப்போம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

எண்ணியல் - 3

இயலெண்களைச் சொல்லும் போது இன்னொரு வகை சொல்லாது விட்டேன். அது 1,2,3,4,5,6,7....என்ற இயலெண்களில், எந்த எண்ணையும், அதைக் காட்டிலும் மதிப்புக் குறைந்த எண்களின் பெருக்கல் விளைவாகக் காட்டுவது பற்றியதாகும். காட்டாக 1, 2, 3, என்ற எண்கள் அந்தந்த எண்களாலும், ஒன்று என்ற எண்ணாலும், மட்டுமே வகுபடும். அவற்றிற்கு அடுத்து 4ஐ இரண்டின் மடக்காய்ச் (exponentiation) சொல்லலாம், 5 என்பது 1,2,3 போன்றது. 5 -ஆலும் ஒன்றாலும் மட்டுமே வகுபடக் கூடும். 6 ஐ 2*3 என்ற பெருக்கற் தொகையாகக் காட்டலாம். 7 உம் ஒன்றாலும், ஏழாலும் மட்டுமே வகுக்க முடியும். 8 ஐ 2ன் மும்மடக்காகவும் (2^3), 9 ஐ 3^2 என்றும், 10 ஐ 2*5 என்றும் சொல்லிவிடலாம்,

இதுவரை பார்த்தவற்றில் 1,2,3,5,7 போன்றவை தவிர மற்ற எண்களைத் தங்களுக்குக் கீழுள்ள எண்களின் பெருக்கல் விளைவாகக் காட்ட முடியும். இப்படி முடியாது தனிப் பெருமையோடு அண்ணாந்து நிற்கும் தகையுடைய எண்கள் பெரும எண்கள் (Prime numbers) எனப் பெறும். வகுபட முடியாத அவைகளுக்கு நிகர் எதுவும் கிடையாது என்ற பெருமை அவைகளுக்குண்டு. பெருமை (primality) என்பது கணிதத்திற் கூர்ந்து கவனிக்க வேண்டிய பண்பு. காட்டாக 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,....... போன்றவை 30 - ற்குக் கீழுள்ள பெரும எண்களாகும். மற்ற எல்லாவற்றையும் இப் பெரும எண்களில் இருந்து பெருக்கல் மூலமே பெற்றுவிடலாம். அதனால் அவற்றைப் பெருமையுறா எண்கள் (non-primal numbers) என்பார். பெரும எண்களை ஒட்டி பல்வேறு கணிதத் தேற்றங்கள் உண்டு.

இனி அடுத்துப் பலக்கெண் (complex number) பற்றிப் பார்ப்போம். முந்தை இடுகையில் 4 செய்முறைகளைப் பார்த்தோம் அல்லவா? அவை போக இன்னொரு செய்முறையாக மூலங்கள் (roots) காணும் செயற்பாடுண்டு. பரப்பளவு, கன அளவு ஆகியவற்றைக் கொடுத்துப் பக்கங்களைக் கண்டு பிடிக்கச் சொல்லும் கணக்குகள் நம் அன்றாட வழக்கில் இருக்கின்றன. ஒரு சதுர அளவு a என்றால் அதன் பரப்பளவு a^2 என்பது நமக்கெலாம் மிக எளிது [முன்சொன்னது போல், இதைக் குழிமாற்று என்று அக்காலஞ் சொல்வார். குழித்தல் என்றாலே to square என்றும் தமிழிற் பொருளுண்டு. மல்(க்)குதல், பெருக்குதல், பருக்குதல், மா(ற்)றுதல் போன்ற சொற்கள் பொதுவான multiplication ஐக் குறிக்கும்.] இதையே, தலைகீழ் கணக்காய்ச் செய்வதிற்றான் பலருக்கும் தடுமாற்றங்கள் உண்டு. ஏதேனும் ஓரெண் கொடுத்து அதைச் சதுரப் பரப்பாகக் கொண்டு, சதுரப்பக்கம் காணுவது தலைகீழ்க் கணக்கு ஆகும். இப்பொழுது 121 என்று பரப்பளவு தந்தால் வாய்ப்பாடு தெரிந்த வரை, அதன் பக்கம் 11 என்று சொல்வோம். இன்னுஞ் சில எண்களுக்குச் சற்று நேரமாகலாம். ஆனால், பொதுவாக எந்த உள்ளமைப் பொதிவெண்ணின் சதுர மூலத்தையும் வழிமுறை தெரிந்தால் மட்டுமே காணமுடியும்.

[கலம் என்பது தமிழிற் கலகலத்துக் கிடப்பதையும் பெருத்துக் கிடப்பதையும் குறிக்கும். இது வடமொழித் திரிவில் கலநம்>கல்நம்>கன்னம்>கனம் ஆகும். அதேபொழுது, கனமென்ற இன்னொரு தமிழ்ச்சொல்லிற்கு weight  பொருளுமுண்டு. [அந்த மூட்டை ரொம்பக் கனமாக இருக்கிறது.] எடை/நிறை என்ற சொற்களை மட்டுமே weight இற்கு வைத்துக் கனமென்ற சொல்லைப் பெருக்கலைக் குறிக்கும் விதமாய்ச் சில நூற்றாண்டுகள் முன் புழங்கத் தொடங்கினார். [குழப்பம் வந்த இடத்தில் ஏவல், பொருள் பார்த்துப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.] அதற்குமுன் அப்படியில்லை. cube. இற்குக் கனச்சதுரம் என்றே எமக்கு அக்காலம் சொல்லிக் கொடுத்தார். volume என்பதை ghanaphala, vimdaphala என்று வடமொழியிற் சொல்வார்.

துல்லியம் பார்த்தால் கனம் என்ற சொல்வடிவு volume/cube இற்குச் சற்றும் சரி வராது; weight இற்கே சரிவரும். இருப்பினும், காலகாலமாய்ப் பழகிப் போன காரணத்தால், தவறாக இருந்தாலும், கனம் என்ற சொல்லைத் தயக்கத்தோடு cube இற்கு இணையாகப் புழங்குகிறேன். அதைக் கலம் என்று ஊற்று வேர்வழி அறிந்து மாற்றினால் கூட ”எடைப்” பொருள் வராது நன்றாக இருக்கும் என்று தோன்றுகிறது. ஏனென்றால், இது போன்ற சொற்களில் தவறான புரிதல் ஏற்பட்டால் அப்புறம் துல்லியத் தமிழ் அறிவியல்நடை நம்மிடம் வாராது. அதே பொழுது, இது போன்ற அடிப்படை மாற்றங்களுக்குப் பெரும்பாலான தமிழர் தயங்கலாம். volume ஐ வெள்ளமென்றே சில ஆண்டுகளாய்ச் சொல்கிறேன். (வெள்> வெளியை - space - நிறைப்பது வெள்ளம்),”ஆறு வெள்ளமாய்ப் பெருகியது; ஏரியில் நீர் வெள்ளமாய்க் கிடக்கிறது.” பெருக்கம் (to expand; பெருகுவது பெருக்கம்) என்பதும் இதற்குப் பொருந்தும். [வெள்ளம் என்பது விளவுக் கருத்தீடல்ல (flow concept). முப்பரிமான அகற்சிக் கருத்தீடு ஆகும். (three dimensional expanse concept).]

ஒரு கனச்சதுரத்தின் வெள்ளங்கொடுத்து அதன் பக்கத்தைக் கண்டு பிடிப்பது கனமூலமாகும். எவ்வெண்ணுக்கும் சட்டெனக் கனமூலம் காண்பது அவ்வளவு எளிதன்று. கனமூலங்களை சதுரமூலத்தோடு தொடர்புறுத்த பல வாய்ப் பாடுகள் உண்டு. இதேமுறையில் பல்வேறு வருக்க மூலங்களையும் சதுர மூலத்தோடு உறவுகாட்டித் தொடர்புறுத்துவார். அதனால், பல்வேறு வாய்ப் பாடுகள் மூலம், மற்ற வருக்க மூலங்களையும் (n th roots) கண்டுபிடிக்கலாம்.  ஆனால் இவையெல்லாம் பொதிவெண்களுக்கு மட்டுமே செய்ய முடியும். வருக்க மூலம் காண்பதை நொகையெண்களுக்கும் செய்ய வேண்டுமெனில், முன்செய்தது போல் இன்னும் ஒரு செயற்கை எண்ணை உள்ளமை எண் கொத்தோடு சேர்க்க வேண்டும். ”i” ஐ (-1) இன் சதுர மூலமெனக் கற்பிதமாய்க் (imaginary) கொண்டு அதன்வழி மற்ற எல்லா நொகையெண்களுக்கும் square.root of (-4) = 2i ; sq.r (-9) = 3i; sq.r. (-13) = (sq.r.of 13)*i = (3.605551.....)i. சொல்ல முடியும்.

இயலெண்களையும் கற்பித எண்களையும் நேரடிக் கூட்டலாய் இழுனை (linear) முறையிற் ஒன்றுசேர்த்து a + b*i என்ற வகையிற் எழுதுவார். 2i ; 5+3i; 29.45-3.605551i போன்றவை இப்படி எழுதப்பட்ட எண்களே. இவற்றைப் பலக்கெண்கள் (complex numbers) என்பார். இவ் எண்கள் கொண்ட கொத்தைப் பலக்கெண் கொத்து C (Complex numbers C) என்பார். இப் பலக்கெண்கள் உயர் கணிதத்திற் பெரிதும் பயன்கொண்டவை. சில பலக்கெண்கள் கீழ்வருமாறு:

(2i) + (5+3i) = 5+5i
(5+3i) - (29.45-3.605551i) = -24.45+6.605551i
(5-3i)*(7-9i) = (5*7 +3*9-5*9i -3*7i) = 35+27-45i-21i = 62 -66i

மேலுள்ள பெருக்கலைச் சரியானபடி செய்ய வேண்டுமெனில், plus, minus எனும் குறிகளின் பெருக்கல் எப்படி என்று தெரியவேண்டும். [plus, minus என்ற சொற்களுக்குச் சரியான இணைகள் தமிழிலின்றிப் பலரும் அப்படியே ஆங்கிலச் சொல் புழங்குவார்.

Plus: 1579, the oral rendering of the arithmetical sign +, from L. plus "more" (comparative of multus "much"), altered by influence of minus from *pleos, from PIE *ple- "full" (see plenary). Placed after a whole number to indicate "and a little more," it is attested from 1902. As a conj., "and," it is Amer.Eng. colloquial, attested from 1968. Plus fours (1921) were four inches longer in the leg than standard knickerbockers, to produce an overhang, originally a style assoc. with golfers. The plus-sign itself has been well-known since at least 1489 and is perhaps an abbreviation of L. et (see etc.).

என்னைக் கேட்டால், Plus, minus இற்கு இணையாய் நல்ல குறுஞ்சொற்களைப் பரிந்துரைக்கலாம். பல்குதல் வினைக்குக் கூட்டுதல் பொருளுண்டு. அவ் வினையால் விளையும் பெயர்ச்சொல் பலை = plus; அதேபோல் நுல்கு> நுள்கு> நொகுதலில் (கழித்தலில்) விளையும் பெயர்ச்சொல் நுணை = minus, negative]. இப்பொழுது, குறிப்பெருக்கல் வாய்ப்பாடு

பலையைக் பலையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்
பலையைக் நுணையாற் பெருக்க நுணை கிடைக்கும்
நுணையைக் பலையாற் பெருக்க நுணை கிடைக்கும்
நுணையை நுணையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்

என்று அமையும்.. [பலை*பலை = பலை, பலை*நுணை = நுணை, நுணை*பலை = நுணை, நுணை*நுணை = பலை] இங்கு கலைச்சொல் விளக்கம் ஒன்று தரவேண்டும். பொதிவெண்கள் = பலை (எண்கள்) = + எண்கள்;  நொகையெண்கள் = நுணை (எண்கள்) = - எண்கள் 

மேலும் பலக்கெண்களைப் பற்றிச் சொல்லத் தொடங்கினால் பெரிதும் சொல்லலாம். இரு முகன்மைச் செய்திகளை மட்டும் இங்கு சொல்கிறேன்.

1. கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், மூலங்காணல் என்று 5 செய்முறைகளின் வழி பார்த்தால், கணக்குச் செய்ய உகந்த முழுமையான மூடிய கொத்து, பலக்கெண் கொத்தே.

2. உள்ளமை எண்களைக் காட்சிப்படுத்தும் போது உள்ளமைக் கோட்டைப் (real line) பயன்படுத்தினோம் அல்லவா? அது போல், பலக்கெண்களைக் காட்சிப் படுத்த, நமக்கு ஒரு தளப் பரப்பு (plane surface) வேண்டும். தளத்தின் நடுவில் கிடையாக (horizontal) ஓரச்சும், நெட்டாக (vertical) இன்னோர் அச்சும் போட்டு எந்தவொரு பலக்கெண்ணையும் காட்சிப் படுத்தலாம்.  கிடையச்சை உள்ளக அச்சென்றும் (real axis), நெட்டச்சைக் கற்பித அச்சென்றும் (imaginary axix)  சொல்வர். பலக்கெண்ணின் 2 பகுதிகளில் முதலில் உள்ளது உள்ளக அலகு (real unit). அடுத்து i எண்ணும் குறியீட்டிற்கு முன் உள்ளது கற்பித அலகு (imaginary unit). உள்ளக அச்சில் உள்ளக அலகை அளந்து அதிலிருந்து ஒரு குத்துக்கோடு (perpendicular) இட்டு, கற்பித அச்சிலிருந்து கற்பித அலகை அளந்து அங்கிருந்து குத்துக்கோடு இட்டு, 2 குத்துக்கோடுகளும் வெட்டும் புள்ளியை ஊற்றுப் புள்ளியோடு (origin) இணைத்தால் கிடைக்கும் கோடு நாம் சொல்ல விழையும் பலக்குப் புள்ளியையைக் காட்சிப் படுத்தும். அதேபோல இக்கோட்டின் ஊற்றுப் புள்ளியல்லா இன்னொரு முனை பலக்குப் புள்ளியை நேரடியாய்க் குறிக்கும். பலக்குத் தளம் (complex plane) முழுதும் இப்படி எண் இறந்த பலக்குப் புள்ளிகள் விரவியுள்ளன என்பது நினைவில் வைக்க வேண்டிய செய்தியாகும்..

மேற்கொண்டு பலக்கெண்கள் பற்றிச் சொல்லாமல், மற்ற எண்கள் பற்றிக் கீழே சொல்ல முற்படுகிறேன்.[இது போன்றதோர் அடிப்படைத் தொடரில் பலக்கெண்ணிற்குரிய மற்ற செய்திகளைத் தவிர்க்கிறேன்.]

மற்ற எண்களில், முதலிற் சொல்ல முற்படுவது random number என்பதாகும். 6 முகங்கொண்ட பகடைக்காயை கீழே வீசி எறிகிறோம் என்று வையுங்கள், 4 என்ற எண் மேலே தெரியும் முகத்திற் தெரிகிறது என்றும் வையுங்கள். 4 என்ற எண் கிடைத்ததாய்க் கொள்வோம். இதே போல் 12 சோழிகளைத் மேலே தூக்கி எறிகிறோம். 7 முகங்கள் மல்லாக்கவும், 5 முகங்கள் குப்புறவும் விழுகின்றன. (ஏழையோ, ஐந்தையோ, எல்லோரும் ஒப்பும் முறையில் வைத்து, விழுந்த எண்ணாக எடுத்துக் கொள்கிறோம்.) இன்னதென்று சொல்ல முடியாதபடி சட்டென, விருட்டென வந்துவிழும் இவற்றை விருட்டெண்கள் (random numbers) எனக் கணிதத்தில் அழைப்பார். ["having no definite aim or purpose," 1650s, from at random (1560s), "at great speed" (thus, "carelessly, haphazardly"), alteration of M.E. randon "impetuosity, speed" (c.1300), from O.Fr. randon "rush, disorder, force, impetuosity," from randir "to run fast," from Frankish *rant "a running," from P.Gmc. *randa (cf. O.H.G. rennen "to run," O.E. rinnan "to flow, to run"). In 1980s college student slang, it began to acquire a sense of "inferior, undesirable." Random access in ref. to computer memory is recorded from 1953.]

விருட்டெண்கள் அப்படியொன்றும் கையாள முடியாதவையல்ல. பகடைக் காயை நெடுநேரம் தூக்கிப் போட்டால், 1 இல் இருந்து 6 வரை எல்லாமே வந்து விழக் கூடியதைக் கூர்ந்து நோக்கலாம். அதே போல சோழி வீழ்ச்சியிலும் ஒன்றிலிருந்து 12 ஆம் எண்வரை எதுவெண்டுமானாலும் நெடுநேரம் விளையாண்டாற் கிடைக்கும். இது போல அடுத்தடுத்து வீழும் எண்கள் அல்லது தோயங்களில், எல்லாத் தோயங்களுக்கும் (digits), எண்களுக்கும் (numbers) ஒரே மாதிரி விழும் வாய்ப்பு இருக்குமானால், அப்படி விழும் போது முதலில் விழுந்த எண்/தோயம் அடுத்து விழும் எண்/தோயம் அமைவதற்கு எந்த வகையிலும் வழிகாட்டுவதில்லை என்றால், அந்த எண்கள்/தோயங்களை விருட்டெண்கள் அல்லது விருட்டுத் தோயங்கள் என்பார். [random numbers = a sequence of digits or numbers with the property that, in the long run, all digits or numbers in the sequence will occur equally often, and in which the occurrence of any one digit or number in a particular position in the sequence is no guide to the occurrence of earlier or later members of the sequence.] விருட்டெண்கள் கிடைக்கப் பகடை, சோழி என்ற 2 முறைகள் மட்டுமல்ல, நூற்றுக் கணக்கான முறைகள் உண்டு.

இன்னும் பல்வேறு எண்களும் பின்னங்களும் இருக்கின்றன. அவற்றை அடுத்து அடுத்துப் பார்ப்போம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

எண்ணியல் - 2

நாம் இளமையில் அறிந்த 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,,,,,,, என்பவை போன்ற எண்ணிறந்த பதின்மக் கட்டக (decimal system) எண்களை, முழு எண்கள் (whole numbers) அல்லது சாத்தார எண்கள் (ordinary numbers) என்று சொல்லலாம்.

[சாத்தாரம் எனும் தமிழ்வழக்கு சாதாரண எனும் வடபுலத்தில் சொல்லப் படும். அதன் தமிழ்மூலம் தெரியாத பலரும் வடமொழி வழக்கென எண்ணி விடுகிறார். ஆனால் உண்மை அதுவல்ல. இக்காலத்தில் குப்பன், சுப்பன் எனப் பொதுமாந்தனை அழைப்பதுபோல் அக்காலம் சந்தை (கடைவீதி) மாந்தனைச் சாத்தனென விளித்தார். (சால்தல் = சாற்றல்> சாட்டல்> சாத்தல் = விலை சொல்லல் = விற்றல் = sale.) சங்க இலக்கியத்தில் ”சாத்தன்” அதிகம் பயன்படும். சாத்தன், வடபுல seth, தென்புலத்துச் சாற்றி> சாட்டி> செட்டி ஆகியவை சால்தல் கருத்தில் அமைந்த பல்வேறு சொற்களாகும். தமிழ்நாட்டின் ஐயனார் கோயில்கள் எல்லாம் சாத்தன் கோயில்களே. தென்பாண்டி நாட்டில் குலதெய்வக் கோயில்களாய் ஐயனார் கோயில்களே உண்டு. ஐயனார் வழிபாடுபற்றிய ஆய்வுகள் முறையாய் எழவில்லை. எல்லாவற்றையும் ”இந்துமதம்” என வேதக்கூட்டத்தோடு கோவிந்தாப் போடுவதில் பொருளில்லை. (சபரிமலைச் சாத்தனை சாஸ்தா என வடமொழி ஆக்கியதையும், இந்துத் தொன்மங்களோடு பொருத்தியதையும் இங்கு எண்ணலாம்.) அறப்பெயர்ச் சாத்தனுக்கும் அற்றுவிகத்திற்கும் (ஆசீவிகம்) பெருந்தொடர்பு உண்டென்று பேரா. க.நெடுஞ்செழியன் சொல்வார். சாத்தர்> சாத்தாரம் என்ற சொற்கள் ordinary மாந்தனை இவ்வகையிற் தமிழிற் குறித்தன.

அதே போல சமனன்>சமணன் என்பதும் அற்றுவிகம், செயினம், புத்தம் ஆகிய நெறியினரைக் குறித்த பொதுச்சொல்லாகும். கி.மு.500 - கி.பி.500 வரை இந்தியத் துணைக்கண்டத்திற் பெரும்பகுதியார் இம் 3 நெறிகளில் இருந்தார். இப் பட்டகையால் (fact), ”சமனன்”பொதுமக்களைக் குறிக்கத் தொடங்கிற்று. சமனம்> சாமனம்> சாமன்யம்> சாமான்யம் என்ற திரிவில் புதுச் சொல் விளைந்தது. இன்று பயன்படுத்தும் சாதாரணம், சாமான்யம் என்பவற்றின் பின்புலம் இதுவே. எல்லாவற்றையும் வேதநெறி, வடமொழி வழி பார்த்தால் துணைக்கண்டத்தின் இன்னொரு விதப்பான வேதமிலா நெறிகள், தமிழ்நெறி போன்றவை விளங்காது. புரிய வேண்டியவருக்குப் புரிந்தாற் சரி.]

பதின்மக் கட்டகத்தின் முழுவெண்களை (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...........) மாந்த ஆக்கம் (man made) என்று கொள்ளாது, இயற்கையானவை என்றே கருதி, இவை யடங்கிய எண்கொத்தை இயலெண் கொத்து (Set of natural numbers N) என்று கணிதத்தில் அழைப்பார். இயலெண்கள், ”கொடுக்கப் பட்டவை” (given) என்றே புரிந்துகொள்ளப் படும். கூடுதல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்ற 4 செய்முறைகளுக்கு இந்த எண்களை ஆட்படுத்துகிறோம்.

கூட்டலைச் சேர்த்தல் என்றும் ”கணக்கதிகாரம், கணித நூல்” போன்ற பழஞ் சுவடிகளில் சொல்வார். குறிப்பிட்ட இடைவெளி கொண்ட இயலெண்களைச் சேர்த்துக் கூட்டுவதை. (காட்டாக 1 இல் இருந்து 10 வரை எண்களைக் கூட்டி 55 என விடைசொல்வது) இற்றை முகனக் கணிதத்தில் (modern mathematics)  எண்ணியல் அடுக்கம் (arithmetic progression) என்பார். கணக்கதிகாரத்திலும், ‘கணித நூலிலும்” இதை ஏற்றானடி, படியடி என்பார்.  (ஏற்றம் = உயரம், ஒரு எண்ணிற்கும் இன்னொரு எண்ணிற்கும் இடையுள்ள ஏற்றம் பேச்சுவழக்கில் ஏற்றம்> ஏத்தம்>ஏத்தான் எனப்படும். செந்தர வழக்கில் ஏற்று/ஏற்றம் எனலாம். படி என்பது எண்களுக்கிடையுள்ள இடைவெளியைக் குறிப்பதே. ஏற்று அல்லது படிகொண்டு அடுக்கிவருவது அடி என்று சொல்லப்பட்டது. இக்காலத்தில் அடுக்கு/அடுக்கம் என்போம். ஏற்றடுக்கம், படியடுக்கம் போன்றவை எண்ணியல் அடுக்கத்திற்கான வேறு சொற்களே.

கழித்தல் செய்முறை நீக்கல், தள்ளல், களைதல் என்றும் முன்னால் சொல்லப் பட்டது. ”அதிலிருந்து இதை நீக்க, தள்ள, களைய” என்று கணக்கதிகாரக் கணக்குகள் வரும். இயலெண் கொத்தில் 2 குறைகள் உண்டு. அதாவது கழித்தல், வகுத்தல் செய்முறைகளில் கிடைக்கும் எண்களெலாம் இதே கொத்தினுள் அடங்காது, வெளியே போக வாய்ப்புண்டு. காட்டாக, 10 இல் இருந்து 7 ஐக் கழித்தால் கிடைக்கும் 3, இக்கொத்தில் உள்ளது. ஆனால், 6 இல் இருந்து 11 ஐக் கழித்தால் கிட்டும் -5  இக் கொத்தில் அடங்காது வெளியே போகும். இதேபோல 8 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் 2 கொத்தினுள் உள்ளது. 4 ஐ 12 ஆல் வகுத்துவரும் 0.3333.... கொத்தினுள் இல்லை.

பொதுவாகக் கொத்துள் செய்யும் முறையின் விடை கொத்துள் இருந்தால், அக்கொத்தை மூடிய கொத்து (closed set) என்பார். இப்படி அமையாததைத் ”திறந்த கொத்து (open set)” என்பார். இயலெண் கொத்து என்பது 4 செய்முறை அடிப்படையில் திறந்த கொத்தாகும். இயலெண்களின் திறந்த கொத்தில் முன்சொன்ன 4 செய்முறைகளை முழுமையாய்ச் செய்ய முடியாது; கூட்டல், பெருக்கல் மட்டுமே செய்ய முடியும்.

இனி, பொருட்களைப் பரிமாறிக் கொள்வதில் கொடுக்கல் வாங்கல் என்ற இருவேறு செயற்பாடுகள் தென்படுவதால், நம்மிடம் சேருவதைப் பொதிதல் (to posit) என்றும், அதற்கு மாறாய்க் கொடுப்பதை ”நம்மிடம் இருந்து போதல், இல்லாது போதல், இறங்கிப் போதல் (இழிந்து போதல்,இழத்தல்), நொய்ந்து போதல் (L. negare) ” என்று உருவகப் படுத்தியும், எண்களுக்கு முன்  ஆற்றுத் திசையை [direction of an action] இனங்காட்டி எண்களை அடையாளப் படுத்தல் கணிதத்தில் உண்டு. நொகையெண்கள் (negative numbers) என்ற கருத்தீடு இப்படியே கணிதத்தில் ஏற்பட்டது. .

மேற்சொன்ன பொதிவெண்கள் (positive numbers) நம்மிடம் வந்த பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நொகையெண்கள் (negative numbers) நம்மிடம் இருந்து சென்ற பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நம்மிடம் வந்து பணத்தைப் பொதிவு எண்களாலும், நாம் கொடுக்கவேண்டிய பணத்தை நொகையெண்களாலும் குறித்து, எல்லாவற்றையும் சேர்த்துக்கூட்டி, நிகரப் பணத்தைக் (net cash) கணக்குப் போடலாம். நிகரப் பணம் பொதிவாகவும் இன்றி, நொகையாகவும் இன்றி, வெறும் அற்றுப் போனதாக, இல்லாததாக, பாழாக அமையலாம். இந்நிலையை எண்ணாக்கி அதைச் சுழி என்பார்.

{சுழி = zero; வடக்கே போக, வாழைப்பழம் வாயப்பயம் ஆவது போல, ழகரம் யகரமாகும். சுல்>சுள்>சுழு>சுழி>சுழிவு>சுயிவு என்ற திரிவு, தமிழர்க்குக் குதிரை விற்கவந்த அரபிகளின் வழியே சுயிவு> ciypher>zero என்றானது. அரபிகள்வழி இந்தியக் கணிதம் தெற்கிருந்து போயிருக்கவே வாய்ப்புண்டு. சுழியை வட புலத்தில் சுல்நம்> சுன்னம்> சுன்யம் என்பார். சுழி, சுழியம், சுன்னம், பாழ், அற்றம், புழையம் என்பன zero குறிக்கும் தமிழ்ச் சொற்களே. (புழையப் பட்டதை - துளையப் பட்டதை - பூழப் பட்டது எனலாம். இதுவே பூழம்> பூழ்யம்>பூஜ்யம் ஆனது. நம்மவரோ, மூலந்தொலைத்துப் பூஜ்யத்தைப் பிடித்துத் தொங்கி, பூச்சியம் ஆக்குகிறார். பூழமும் பாழும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புள்ளவை.)

இத்தனை சொற்கள் இங்கிருந்தும், 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை சுழிக் கருத்தீடு தமிழர் அறியாரெனும் தவற்றுக்கருத்து எப்படியோ அறிவுலகில் உலவுகிறது. இத்தனைக்கும், சுழிக்கருத்து முதலில் பதிவான ”லோகவிபாக” என்ற செயின ஆவணம் நம் காஞ்சியிற் தான் கி.பி.458 -இல் எழுதப்பட்டது. இருப்பினும் தமிழனுக்குச் சுழி தெரியவே தெரியாதாம் ஏனெனில் இந்நூல் தமிழன்றிப் பாகதத்தில் உள்ளதாம், :-))) என்செய்வது ?? முன்கூறிய Georges Ifrah வும், The universal history of numbers I, II, III என்ற தன்நூலில் தவறான கருத்தைப் பதிவு செய்திருப்பார். [அவர் இரண்டாம் நூலின் 123 ஆம் பக்கம்] சுழித்தோற்றத்தில் தமிழரின் பங்கு பற்றித் தனி ஆய்வு யாராவது வரலாற்றாய்வர் செய்தால், நன்றாக இருக்கும். ஆய்வுலகில் தமிழரின் பல செய்திகள் மற்றோருக்கு என மாறி எழுதிய குளறுபடிகள் மிகவுண்டு. தமிழர் என்று கண்டுகொள்வார்?}

முந்தைப் பொதிவெண்களுடன், புதிதாய்க் கற்பித்த நொகையெண்கள் (negative numbers), சுழி (zero) சேர்த்து ஒரு பெருங்கொத்து அமைக்க முடியும். இதைத் தொகுவெண் கொத்து (Set of integers) என்பார். கூட்டல், கழித்தல் இரண்டும் சேர்த்துத் தொகுத்தல் [summation] என்பதால், தொகுவெண் (integer) பெயரெழுந்தது. இவற்றை அடையாளப்படுத்த, அவற்றின் செருமானியப் பெயரில் (zahlen) வைத்து Z எனப் பெயரிடுவார். இக்கொத்து [.... -11 ,-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...] என்றமையும். இதனுள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் ஆகியவை செய்து கிட்டும் விடைகள் கொத்தினுள் உள்ளதால், அவற்றைப் பொறுத்து இது மூடிய கொத்தாயிற்று. ஆனால், வகுத்தலின் படி இது இன்னும் திறந்த கொத்தே.

பெருக்கல் கருத்து நம் மரபில் ”மாறுதல், பழுக்குதல் (பருக்குதலின் பேச்சு வழக்கு)” என்றும் அழைக்கப்பட்டது. [குழித்தல் என்பது  விதப்பாக ஓர் எண்ணை அதே எண்ணாற் பெருக்குவதற்கும் பயன்பட்டது. பழஞ் சோழ நாட்டில் ஒரு குழி = 1 தண்டச் சதுரம் = 121 சதுரக் அடியைக் குறிக்கும். ஒரு தண்டம் = 2 கோல் என்பது இக்கால 11 அடியைக் குறிக்கும்.]

கடைசியாக இருக்கும் வகுத்தல் முறை ஆழப் புரிந்து கொள்ளவேண்டியது ஆகும். ஓரெண்ணை இன்னொன்றால் வகுக்கையில் வகுபடும் எண் (dividend), வகுக்கும் எண் (divisor), என்போம் அல்லவா? இவற்றோடு, வகுத்துக் கிட்டும் எண்ணை வகுதி, வகிர்தம் (இதுவே திரிந்து விகிதமானது; பலரும் விகிதத்தை வடமொழியெனத் தவறாக எண்ணுகிறார்.) பகுதி, ஈவு, கூறு (quotient) என்று பலவாறாகச் சொல்வார். வகுத்த பின்னால் மீந்ததை மீதி (remainder) என்பார்.

வகுபடும் எண் = வகுக்கும் எண் * வகுதி + மீதி

என்ற இச் சமன்பாடு எல்லோருக்கும் தெரிந்தவொன்றாகும். தமிழில்

வகுத்தலை ”வகிர்தல், பகுத்தல், ஈளுதல் (=ஈயுதல்), கூறாக்கல், முறித்தல்” என்றும் பலவாறாய்ச் சொல்லலாம். [ஈளும் கருவியான ஈள்+தி = ஈட்டியை இங்கு நினைக்கலாம்.] வகுபடும் எண்ணை ”வகிர்/ பகு/ ஈள்/ கூறு/ முறி படும் எண்” எனலாம். வகுக்கும் எண் என்பது ”வகிர்க்கும்/ பகுக்கும்/ ஈளும்/ கூறும்/ முறிக்கும் எண்” எனலாம். “வகுதி, வகிர்தம்> விகிர்தம்> விகிதம்> வீதம்), பகுதி [இது பங்கென்றும் சொல்லப்படும்), ஈள்வு(>ஈவு), மேனி, கூறு, முறிவு” என்பவை ஒருபொருட் சொற்கள்.

இற்றைத் தமிழில் வகுத்தல், பகுத்தல், விகிதம், வீதம், ஈவு, மேனி, கூறு என்ற சொற்களே புழங்குகின்றன. வகுபடும் எண்ணை வகுக்கும் எண்ணால் வகுப்பதைக் காட்டும் வகையில்

a வகுத்தற்குறி b

என்று ஈரெண் சோடியாகவோ, அன்றி வகுபடும் எண்ணை மேலெண்ணாய்க் [numerator] காட்டி, வகுக்கும் எண்ணைக் கீழெண்ணாய்க் [denominator] காட்டி

r = a/b.

என்றோ, எழுதுவதுண்டு. r போன்ற எண்கள் ”அரிதை யெண்கள்” (rational numbers) எனப்பெறும். [அரிதல் = வகுத்தல், பிரித்தல், பிளத்தல், வெட்டுதல்.] ஒன்றின்கீழ் மற்றொன்றாய் எழுதாது, கிடைக்கும் மீதியைப் மேலும் மேலும் வகுத்துப் பதின்மங்களாக [decimals] ஆக மாற்றியும் அரிதை எண்களைக் காட்சிப்படுத்துவர். அக்காட்சியில் வியத்தகு தோற்றம் காணலாம். ஏதோ  குறிப்பிட்ட தானம் (place of the digit) வரை பல்வேறு தோயங்கள் (digits) எழுந்து அதற்குமேல் தோயத்தொகுதிகள் திருப்பி வருவதைக் காணலாம்.

11.1111111....
15.2323232323.....
7.419419419419......
4.625789946257899462578994......

இங்கே, முதலெண்ணில் 1 எனும் தோயம் திருப்பி வருகிறது. இரண்டாவதில் 23 என்னும் தோயங்கள் திருப்பி வருகின்றன. மூன்றாவதில் 419 திருப்பி வருகின்றது. ஐந்தாவதில் 62578994 எனும் எட்டுத் தோயங்கள் திருப்பி வருகின்றன. இதுபோல, எல்லா அரிதை எண்களும் மீளவரும் தோயங்களைத் (repeating digits) தம் பதின்மப் பகுதியிற் (decimal portion) காட்டும்.  அரிதை யெண்களுக்கான அடிப்படைத் தோற்றம் இதுவாகும்.

இனி அரிதை எண்களின் அடர்த்தியைப் பார்ப்போம். 17/2 என்பதை வகுத்து பதின்மானத்திற் குறித்தால் 8.5 என்றாகும். அடுத்து 17/3 என்றால் 5.66666....... என்றாகும். இப்பொழுது 5.6666......ற்கும், 8.5ற்கும் இடையில் அரிதை எண்கள் உண்டா என்றால் ஏராளமுண்டு எனலாம். இப்படிக் குறிப்பிட்ட 2 எண்களுக்கு நடுவே, அடர்ந்திருப்பதால், அரிதை எண்களை அடர்ந்தவை (rational numbers are dense.) என்போம். அரிதையெண் கொத்து Q (Set of rational numbers Q) எனப்படும்.

அடுத்து, முற்றிலும் திருப்பிவாராத் தோயங்கள் கொண்ட எண்கள் உண்டா எனில் உண்டு. இது போன்ற எண்களை அரியொணா எண்கள் (irrational numbers) என்பார். அரிதை எண்களும், அரியொணா எண்களும் சேர்ந்தமையும் எண்களை உள்ளமை எண்கள் (real numbers) என்பார். உள்ளமை எண் கொத்து (Set of real numbers R) என்று அது அழைக்கப் படும். ஒரு கோடிழுத்து அதன் முழுப் புள்ளிகளை 1, 2, 3 என்பவற்றோடு பொருத்தினால், இவற்றின் இடையே அரிதை எண்களும் அரியொணா எண்களுமாய் கணக்கற்ற, வரம்பிலா எண்கள் இடம்பெற முடியும். இப்படி வரையப்பட்ட கோட்டை உள்ளமைக் கோடு (real line) என்பார். உள்ளமைக் கொத்தும் உள்ளமைக் கோடும் ஒன்றிற்கொன்று பொருந்துபவை. உள்ளக எண்கொத்தை வகுத்தற் செய்முறை கொண்டு பார்த்தாலும் அது மூடிய கொத்தே என்று புலப்படும்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

எண்ணியல் - 1

Lowest Common Denominator (LCD) - யைத் தமிழில் எப்படிச் சொல்வது என்று மின்தமிழ் மடற்குழுவில் பேரா.ரெ.கார்த்திகேசு  ஒருமுறை 2010 இல் கேட்டார். [lowest என்பதைக் காட்டிலும் அதற்கிணையான least என்ற புழக்கத்தையே இளமையிற் கேட்டிருக்கிறேன்.] LCD யை ஒட்டி, Highest Common factor (HCF) / Greatest Common Divisor (GCD), Least Common Multiple (LCM) என்ற இரு சொற்களும் உண்டு. 52 ஆண்டுகளுக்கு முன், உயர்நிலைப் பள்ளிப் படிப்பில் இவற்றை ”உத்தமப் பொதுக் காரணி (HCF) / உத்தமப் பொது அலகு (GCD)” என்றும், “அதமப் பொது மடங்கு (LCM)” என்றும் கூட்டுச் சொற்களால் அறிந்துள்ளேன். இவையிரண்டும் தொகுவெண்களை (integers) ஒட்டிவரும் சொற்களாகும். LCD என்பது பின்னங்களைக் கூட்டும் போது தேவைப்படும்.

அக்காலத்தில், அறிவியற் புரிதற் கூடுவதற்கு, துல்லியச் சொற்களைக் கையாளும் தேவை பற்றி யாரும் சொல்லவில்லை. அதோடு, தமிழில் ஆழ்ந்த நெருக்கமும், சிந்தனையும் இளமையில் எனக்கு இருந்ததில்லை. ”உத்தமம்” எப்படி highest/greatest-யைக் குறித்தது? அதமம் எப்படி least -யைக் குறித்தது? என்றும் எனக்குத் தெரியாது; என் ஆசிரியர் அச்சொற்களை வேதம்போற் சொல்லிக் கொடுத்தார்; நாங்களும் பொருளறியாது பயின்றோம்; [இக் காலத்தில் தமிழிற் கலைச்சொற்கள் வந்தால் ஆ, ஊ என்று கொக்கி போடுவோர் அக்கால மணிப்பவளச் சொற்களைக் கேள்வி கேட்டதில்லை. ஆசிரியர் சொல்லிக் கொடுத்தது வேதம் அல்லவா?] தேர்ச்சி பெற்றோம். நாளாக, நாளாகத் தமிழிற் சிந்தனை கூடியபோது தான், பள்ளிப்பாடக் கலைச்சொற்கள் துல்லியம் இல்லாதிருப்பது எம் மனத்தை உறுத்தியது. இப்படி முட்டாள்தனமாகச் சொற்களைக் கையாள்வது பழக்கமானால், அப்புறம் தமிழில் அறிவியல்நடை என்பதே கேள்விக்குறியாகிப் போகும் என்றும் எங்களுக்குத் தோன்றியது.

”உத்தமப் பொதுக் காரணி/அலகு”, ”அதமப் பொது மடங்கு” என்பவற்றையும், அதன்பின் நற்றமிழில் வந்த, [ஆனால் உத்தமம், அதமம் போல் தெளிவிலாத] ”மீப்பெரு பொதுச் சினை”, ”மீக்குறை பொது மடங்கு” போன்றவற்றை ஒரு தொடக்கம் அல்லது வளர்ச்சி எனக் கொண்டு, அடுத்த வேலைகளில் எம் போன்றோர் ஆழ்ந்தோம்; கல்லூரிக்குப் படிக்கவந்த பின்னரே கலைச்சொற் படைப்பில் ஈடுபடத் தொடங்கினேன். அன்றிருந்த சூழ்நிலையும் எம் போன்றோரைத் தூண்டியது.

ஆனால், அக்காலத்திற்கும் இக்காலத்திற்கும் வேறுபாடுள்ளது. அக்காலத்தில் ”தமிழில் அறிவியலைச் சரியாகச் சொல்லும் திறன் வளரவேண்டும்” என்ற விழைவு பலருக்கும் இருந்தது. தமிழுக்குப் புதிதாகச் செய்யப் போகிறோம் என்ற ஆர்வமும், போட்டியும், தமிழ்நாடெங்கும் கல்லூரி மாணவர், மற்றும் இளையோரிடம் இருந்தது. ”தமிழ் வென்றுவிடும், ஆட்சிக் கட்டிலிற் சிறப்பாக அமர்ந்துவிடும்” என எண்ணியவர் அன்று மிகுதி. [கூடவந்த அரசியல்வாதியர் தம் கொள்கையில் நீர்த்து,  பணம் பண்ணுவதில் ஆழ்ந்து, ஆங்கிலத்தைக் கொணர்ந்து அரசுகட்டிலில் குடிவைப்பரென அப்போது எம்போன்றோருக்கு ஏற்பட வில்லை. மீண்டும் துபாசி வேலைக்கு ஆளாகி வெள்ளைக்காரனின் பொருளாதாரத்தை நாம் வளர்க்கப் போகிறோமென அப்போது தெரியாது. சூதானம் தெரியாது ஏமாந்துபோன கொடிவழி எம்முடையது.]

இன்றோ, தமிழ்விழைவு பரவலாய்க் குறைந்து விட்டது. [அரசியலார் நீர்த்து, பணமே கதியென்று ஆனதால், இந்நிலைக்கு வந்து சேர்ந்தோம். எங்கும் ஊழல். அதோடு, உலகமயமாக்கலெனும் 800 பவுண்டு கொரில்லாவிற்கு அடிமையாகி இருப்பதையெலாம் முற்றுமுழுதாக விற்றுக் கொண்டுள்ளார்.] ஒரு சிலரே ”தமிழில் அறிவியல் பழகவேண்டும், அதைச் சொல்லும் திறன் தமிழில் வேண்டும்” என எண்ணுகிறார். அறிவியற் செய்தி தெரிவிக்கத் தமிழிற் புதுச் சொல்லைப் பரிந்துரைத்தால் அதை நக்கலடித்து ”ஆங்கிலச் சொல்லே இருக்கட்டும், இல்லாவிடில் வடமொழி புழங்கட்டும்” என்று சொல்லும் தமிங்கிலர் நம்மிடை பெருத்துவிட்டார். [எங்கு பார்க்கினும் மடிக்குழைப் பள்ளிகள் (matriculation schools) புற்றீசலெனப் பெருகியிருந்தால் தமிங்கிலர் சேர்வது இயற்கை தானே?] நல்ல தமிழில் எதைச் சொன்னாலும் அதில் குற்றங்காண முன்வந்து நிற்கிறார்.

ஒருவேளை ”தமிழ் முடங்கிய மொழி, ஆங்கிலமோ, வடமொழியோ இன்றி அது இயங்கமுடியாது” என்று சொல்லி, மிஞ்சிக் கிடப்பவரை மேலெழுந்து அடிப்பது அவரின் விழைவு போலும். அதன்வழி ”கதைக்கும், கவிதைக்கும், துணுக்கிற்கும், களியாட்டத்திற்கும் மட்டுமே பாழாய்ப்போன தமிழ் பயன் படட்டும்” என எண்ணுகிறார் போலும். மொத்தத்தில் ”ஆங்கில பெயர்ச் சொற்களுக்கும் வினைச்சொற்களுக்கும் இடையே துணைவினை, இடைச் சொற்கள் போடவும், வேற்றுமையுருபு சேர்க்கவும், மட்டுமே தமிழ்ச்சொற்கள் வந்துபோகும் நிலையில் பிட்ச்சின் (pidgin) தமிழ்நடை இன்று வளர்வது பெருஞ் சோகம், இதற்கிடையில் செம்மொழி எனும் கூப்பாடு வேறு!.

ஆனாலும் ஆர்வலர் பலர் பெரும்பாடுபட்டு தமிழில் அறிவியல்நடை வளர்க்க முயல்கிறார்கள். அவர் முயற்சி வெல்லட்டும்.
-----------------------------------

இக்கட்டுரையில் பல்வேறு எண்கள், பின்னங்கள், .எண்ணியல் (arithmetics) ஆகியவை பற்றிப் பேச விழைகிறேன். கூடவே HCF/GCD, LCM, LCD பற்றியும் பேசுவேன்.

முகன மாந்தன் (modern man) கடந்த 70000 ஆண்டுகளில் எப்பொழுது எண்ணத் தொடங்கினான் என்பது அறியொணாததாகவே உள்ளது. ”2 விரல்கள், 2 பூனைகள், 2 பழங்கள்” என்ற அறிவை அப்பூதியாக்கி (to abstract) இரட்டுமைக் (two-ness) கருத்து எப்பொழுது அவனுக்குப் புரிந்ததோ அப்பொழுதே எண் சிந்தனை எழுந்திருக்கலாம். ஒருவேளை இற்றைக்கு 50000 / 60000 ஆண்டுகள் முன் முதல்மொழி தோன்றியபோது, மாந்தன் எண்ணினானோ என்னவோ? ”ஒன்று, இரண்டு, பல” எனப் பொருத்தும் போக்கு, சேர்க்கும் போக்கு, இள்ளும் போக்கு, இணர்க்கும் போக்கு, இணைக்கும் போக்கு, கொஞ்சங் கொஞ்சமாய் ஏற்பட்டது கூட இள்>*இண்>எண் எனுஞ் சிந்தனை வளர்ச்சிக்குக் காரணமாய் இருக்கலாம். இப்பொழுது பேசத் தொடங்கும் பிள்ளை கூட, “ஒன்று, இரண்டு, பல” என்றே முதலிற் புரிந்து கொள்வதாகவும், பின் சிறிது சிறிதாக அப்பூதி எண் (abstract number) எனும் கருத்தைப் புரிந்து கொள்வதாகக் குழவிவளர்ப்பு வல்லுநர் சொல்வர்.

பல்வேறு தொல்முது குடியினரும், பெரும்பாலும் ஒன்று, இரண்டு, இரண்டொன்று, இரண்டிரண்டு, பல என எண்ணுவதையும், இரண்டொன்றை மூன்றாகவும், இரண்டிரண்டை நாலாகவும் சொல்வது பழங்குடியினருக்குச் சரவலாய் இருப்பதையும், Georges Ifrah தனது நூலில் எடுத்துக் காட்டியிருப்பார். [The universal history of numbers I, II, III என்ற மூன்று பொத்தகங்கள், Penguin Books India, 2005, கட்டாயம் படிக்கவேண்டிய நூல்.] இதேபோல, பல்வேறு பொருட் தொகுதிகளை நம்முன் காட்டி அவற்றை எண்ணாமற் பார்த்த அளவிலேயே “எத்தனை பொருட்கள் தோற்றத்திற் தெரிகின்றன?” என்று வினவினால், நம்மில் பலரும் நாலுக்கு மேல் இனங் காட்டுவதிற் தடுமாறுவதையும் நாலுக்கு மேற்பட்டுப் பல என்பதையும் அவர் சான்று காட்டுவார்.

கைமானத்தில் (quinary) இருந்து நகர்ந்து, அடுத்த வளர்ச்சியில் இருகைமானம் (biquinary) - பதின் மானம் (decimal), இருபான் மானம் (vigesimal) அறுபான் மானம் (sexgesimal) என்று பல்வேறு மானங்களில் உலக நாகரிகங்கள் எண்ணத் தொடங்கின. முடிவில் பதின்ம எண்களுக்கே (decimal numbers) இவ்வுலகம் வந்து சேர்ந்தது. கணிதம் மேலும் வளர்ந்து, இரும (binary), எண்ம (octal), பதினறும (hexadecimal) எண்களும் படைக்கப் பட்டுள்ளன.

இப்போதைக்குப் பதின்ம எண்களை மட்டுமே வைத்து நம் செய்திகளைச் சொல்ல முற்படுவோம். [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, என்னும் பத்து அடியெண்களோடு (base numbers) இடமதிப்பு (place value) என்ற கொள்கையை உடன் சேர்த்துக் கொண்டு, கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்ற 4 செய்முறைகளைச் செய்தால் உருவாகும் கணித மரபை, எண்ணியல் (arithmetics) என்று சொல்கிறார். கணிதத்தில் எண்ணியல் என்பது ஒரு பகுதி.]

அன்புடன்,
இராம.கி.

தமிழக மாணவர்களுக்கான விக்கிப்பீடியா கட்டுரைப் போட்டி

தமிழ்நாடு அரசு, 2010 சூன் 23 முதல் சூன் 27 வரை கோயம்புத்தூர் நகரில் உலகத் தமிழ்ச் செம்மொழி மாநாட்டையும் ஒன்பதாவது இணையத் தமிழ் இணைய மாநாட்டையும் நடத்துகிறது. இதனை ஒட்டித் தமிழ்நாட்டிலுள்ள பல்கலைக்கழகங்கள், அவற்றுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ள கல்லூரிகள், நிகர்நிலைப் பல்கலைக்கழகங்கள், பல்தொழில்நுட்பப் பயிலகங்கள் ஆகியவற்றில் பயிலும் மாணவர்கள் பங்கேற்பில் தமிழ் விக்கிப்பீடியாவுக்குத் தகுந்த தகவல் பக்கங்களை (கட்டுரைகள்) எழுதும் போட்டியை நடத்துகிறது.

தமிழ்நாடு அரசும் தமிழ் விக்கிப்பீடியாவும் இணைந்து நடத்தும் இப்போட்டியில் கலை, அறிவியல், பொறியியல், மருத்துவம், விளையாட்டு, வேளாண்மை, சட்டம், கல்வியியல், இயங்குனர் மருத்துவம் (பிசியோ தெரப்பி), சித்த மருத்துவம், பல் மருத்துவம், செவிலியர், கால்நடை மருத்துவம், பலதொழில்நுட்பப் பயிலகம் முதலிய துறைகளைச் சேர்ந்த மாணவர்கள் பங்கு கொள்ளலாம். ஒவ்வொரு துறையிலும் சிறந்த தகவல் பக்கங்களை எழுதுவோருக்குப் மதிப்பு மிகுந்த பரிசுகள் வழங்கப்பட உள்ளன.

இது பற்றிய மேல்விவரம்

http://ta.wikipedia.org/wiki/Wp:contest

என்ற வலைத்தளத்தில் இருக்கிறது. எல்லா வலைப்பதிவர்களும் தங்களுக்குத் தெரிந்த மாணவர்களை இந்தப் போட்டியிற் கலந்து கொள்ளுமாறு தூண்ட வேண்டுகிறேன். உங்களுடைய வலைப்பதிவிலும் இது பற்றி எழுதுங்கள். தமிழக மாணவரிடையே பங்களிப்பு விரிவாக அமைய இந்தப் பரப்புரை பயன்படும். ஆக்க வேலைகளில் சேர்ந்திருப்போம்.

தமிழுக்குப் பயனுள்ளதொரு பங்களிப்பு.

அன்புடன்,
இராம.கி.